数学知识点总结如何求解直线或椭圆过定点的问题

查题易2024-04-19 23:59:58 数学已帮助人

数学知识点总结
如何求解直线或椭圆过定点的问题

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记椭圆右顶点为E
问题的关键是你对“以AB为直径的圆恰好过椭圆的右顶点”这个几何条件要转化好.
其实这个条件也是变相给出一个向量关系：
向量EA与向量EB的数量积=零
设A(x1,y1)、B(x2,y2),E点坐标已知.
因此这个向量关系提供了一个x1+x2与x1x2的式子,那么联立直线方程与椭圆方程消元利用韦达定理可以把x1+x2与x1x2用k和m表示出来,这样,就得到一个关于k与m的关系式.
题目中直线方程里k和m就能统一到一个参数,然后再说明直线过定点,这应该不是问题.
解析几何,往往是给出几何条件然后求解问题,而问题多数为代数问题,要想把几何条件“转化”成代数结论,必须抓住几何条件的特征和本质.
而用数的方法去研究形的问题,正是解析几何的最突出特征!
反思本题,我们可以把直线的一些条件、椭圆的一些条件等归结为题目的“自然环境”（就是题目的背景）,而“以AB为直径的圆恰好过椭圆的右顶点”这个条件的出现真是一石激起千层浪!问题产生-----求证,直线l过定点,试求出该定点坐标.从这个意义上讲,几何条件的本质究竟是什么,是解决问题的关键!而上面说到要把几何条件转化为代数特征,而解析几何里“联立方程组、消元、韦达定理”这几个步骤在解析几何直线与圆锥曲线的位置关系里,可以说必须使用,那么你再把几何条件跟韦达定理的结论结合起来不难把条件“以AB为直径的圆恰好过椭圆的右顶点”转化成“向量EA与向量EB的数量积=零”.进而解题.
仅供你参考.