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如图 以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形 即△ABD

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如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,
请回答下列问题,并说明理由.
（1）四边形ADEF是什么四边形?
（2）当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
（3）当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?
（4）当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?

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共1条回复

  • （1）在△ABC和△DBE中
    AB=AD
    ∠ABC=∠EBC-∠EAB,∠DBE=∠DBA-∠EBA
    因为∠EBC=∠DBE=60°
    所以∠ABC=∠DBE
    BC=BE
    因此△ABC≌△DBE,DE=AC.
    △ACF是等边三角形,所以AF=AC=DE
    在△ABC和△FEC中
    AC=FC
    ∠ACB=∠ECB-∠ECA
    ∠FCE=∠FCA-∠ECA
    因为∠ECB=∠FCA=60°
    所以∠ACB=∠FCE
    BC=EC
    因此△ABC≌△FEC,EF=AB
    因为△ABD是等边三角形,所以AD=AB=EF
    四边形ADFE两组对边分别相等,是平行四边形
    （2）如果平行四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°
    因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
    所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°,四边形ADEF是矩形
    （3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形
    理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
    由①四边形ADEF是平行四边形
    所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°.即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)
    （4）∠DAF=240°-∠BAC
    当∠BAC=60°时,∠DAF=180°
    D、A、F在一条直线上,此时四边形ADEF不存在

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