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斐波那契数列通项公式怎么推出来的?An = {[(1 + √5)/2]

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斐波那契数列通项公式怎么推出来的?
An = {[(1 + √5)/2]^n - [(1 - √5)/2]^n}/√5

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  • 由an+2= an+1+an
    有an+2- an+1- an=0
    构造特征方程 x2-x-1=0,
    令它的两个根是p,q 有pq=-1 p+q=1
    下面我们来证 {an+1-pan}是以q为公比的等比数列.
    为了推导的方便,令a0=1,仍满足an+2= an+1+an
    an+1-pan
    = an+an-1 -pan
    = (1-p) an-pqan-1
    =q(an-pan-1)
    所以：{an+1-pan}是以q为公比的等比数列.
    a1-pa0
    =1-p=q
    所以 an+1-pan=q*qn=qn+1 ①
    同理 an+1-qan=p*pn=pn+1 ②
    ①-②:(q-p)an= qn+1-pn
    因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2,q-p=√5,所以
    an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2] n+1}
    可验证a0,a1也适合以上通项公式.

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