摘要：二次递推数列如何求通项公式？ 谢邀。解决这个问题，我们需要以下前置知识：1、高中范围数列知识与常用技巧2、最简单形式的特征根法如果你对以上知识并不...
二次递推数列如何求通项公式？
谢邀。
解决这个问题，我们需要以下前置知识：
1、高中范围数列知识与常用技巧
2、最简单形式的特征根法
如果你对以上知识并不了解，可以自行查阅资料。
首先观察题目：
已知 ，求 的通项公式。
显然，该递推数列有一个不动点，存在通项公式。
为了使该数列成为易于求解的齐次形式，我们构造数列 ，满足：
并且为了运算简单，我们令 ，则有
我们把递推式中的 用 进行代换，可以得到 ，两边同乘 ，得到
很显然，可以通过特征方程求解
由 的特征方程 ，我们得到两个不等特征根： ，于是 ，又有 ，带入解得 ，至此我们得到 的通项公式：
根据定义，我们得到：
综上所述，我们得到
的通项公式为：
特别感谢
@CZA
在群里提供的齐次思路。手码公式不易，看完点个赞再走呗 : )
通项公式推导公式？
八种求数列通项公式的方法
一、公式法
例1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。
解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以数列 的通项公式为 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：由 得 则
所以数列 的通项公式为 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。
例3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：由 得 则
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。
例4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解： 两边除以 ，得 ，
则 ，故
因此 ，
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以 ，则 ，故
所以数列 的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。
例6已知数列 满足 ，求 的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则
故
所以 ③
由 ， ，则 ，又知 ，则 ，代入③得 。
所以， 的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式。
四、待定系数法
例7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ④
将 代入④式，得 ，等式两边消去 ，得 ，两边除以 ，得 代入④式得 ⑤
由 及⑤式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，则 ，故 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
例8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ⑥
将 代入⑥式，得
整理得 。
令 ，则 ，代入⑥式得
⑦
由 及⑦式，
得 ，则 ，
故数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，因此 ，则 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。
例9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ⑧
将 代入⑧式，得
，则
等式两边消去 ，得 ，
解方程组 ，则 ，代入⑧式，得
⑨
由 及⑨式，得
则 ，故数列 为以 为首项，以2为公比的等比数列，因此 ，则 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得 ⑩
设 11
将⑩式代入11式，得 ，两边消去 并整理，得 ，则
，故
代入11式，得 12
由 及12式，
得 ，
则 ，
所以数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列，则 ，因此
则 。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以
又 ，所以数列 的通项公式为 。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 两边取常用对数得 ，即 ，再由累乘法可推知 ，从而 。
七、数学归纳法
例12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：由 及 ，得
由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当 时， ，所以等式成立。
（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，
由此可知，当 时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何 都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：令 ，则
故 ，代入 得
即
因为 ，故
则 ，即 ，
可化为 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此 ，则 ，即 ，得
。
评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式
Y=1/2(N(N+1))
等差数列和公式
思路
就是看是否是等差数列,等比数列,大衍数列,斐波那契数列等特殊数列或他们的变形,在看是否是阶差数列或周期数列,是则找到他们的规律,不是看看是否是分群数列,试着分组
此题的详细解法为
1 3 6 10 15 第一层：Y1
2 3 4 5 第一层：Y2
1 1 1 第一层：Y3
看出来规律没有 上面两个数相减得到下面的数,共减两层就是相等了 对于这种形似的数列,有一个规律.
我们设Y1（n）=b*n^2+c*n+d
那么有Y2(n)=Y1（n+1)-Y1（n)
Y3(n)=Y2（n+1)-Y2（n)=常数
利用上面的规律,我们可以待定系数法.有两层就最高2次方,三层就最高三次方,n层就最高n次方解出来.对于本题,相减两层就相等了,那么最高2次方,待定系数为Y（n）=b*n^2+c*n+d
有
Y（1）=b*1^2+c*1+d=1
Y（2）=b*2^2+c*2+d=3
Y（3）=b*3^2+c*3+d=6
三个方程 三个未知数
Y（4）Y（5）就不用代了
解出 b=c=1/2 d=0
Y（n）=(1/2)*n^2+(1/2)*n
版权声明：查题易所有作品（图文、音视频）均来源网络，版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！
